Методы Рунге-Кутты для задачи Коши.

Способы Эйлера для решения задачки Коши.

Способ Эйлера первого порядка точности.

В способе Эйлера решение уравнения (2.4) представляется последующим образом:

(2.6)

где , - исходная точка, - шаг меж узлами xi и xi+1, - значение разыскиваемой функции y(x) в узле xi, . При i=0 имеем:

(2.7)

где y0=y(x0) - изначальное значение разыскиваемой функции y(x).

Абсолютная погрешность способа Методы Рунге-Кутты для задачи Коши. Эйлера на n шаге равна:

(2.8)

где c1 и c2 - константы, R0 - погрешность исходного приближения.

Согласно (2.8) способа Эйлера имеет 1-ый порядок точности.

Модификации способа Эйлера второго порядка точности.

а) способ трапеции. В этом способе решение имеет вид:

(2.9)

Этот способ неявный, т.к. для определения значений yi+1 нужно решать Методы Рунге-Кутты для задачи Коши. нелинейное уравнение (2.9). Способ трапеций имеет 2-ой порядок точности по h.

б) способ Эйлера-Коши. Данный способ является прямым способом второго порядка точности:

(2.10)

в) улучшенный способ Эйлера второго порядка точности:

(2.11)

Способы Рунге-Кутты для задачки Коши.

а) расчетам формулы способа Рунге-Кутты второго порядка точности имеют последующий вид:

(2.12)

Данный способ является Методы Рунге-Кутты для задачи Коши. 2-ух этапным. Сначала рассчитывается значение k(1), а потом значения k(2).

При a=1 формулы (2.12) дают способ Эйлера-Коши, при a=1/2 - улучшенный способ Эйлера.

б) способ Рунге-Кутты 4-ого порядка точности.Более известным из способов Рунге-Кутты является традиционный 4-этапный способ 4-ого порядка точности:

(2.13)

Этот способ прост и эффективен, когда отрезок Методы Рунге-Кутты для задачи Коши. [x0,xn] не очень велик.

в) способ Рунге-Кутты 4-ого порядка точности для системы из 2-х уравнений.Имеется система из 2-ух дифференциальных уравнений:

Расчетные формулы для вычисления значений функции y(x) и z(x) имеют последующий вид:

(2.15)

где

(2.16)

4. Автоматический выбор шага.Локальная погрешность способов Рунге-Кутты точности p на i+1 шаге Методы Рунге-Кутты для задачи Коши. допускает представление:

(2.17)

где r(xi,yi) - непрерывная функция, p - порядок точности.

Как следует, можем записать:

(2.17)

Тут y(xi+1)-точное решение, -приближенное решение с шагом h.

Уменьшим шаг интегрирования вдвое. Для вычисления значения функции y(xi+1) нам будет нужно два шага. На первом шаге погрешность будет равна:

а на Методы Рунге-Кутты для задачи Коши. втором:

Суммарная погрешность после 2-ух шагов по hi/2 будет равна сумме погрешностей на 2-ух шагах:

(2.18)

Как следует, можем записать:

(2.19)

тут y(xi+1) - четкое решение, - приближенное решение с шагом hi/2.

Вычитая из равенства (2.17) равенство (2.19) получим:

(2.20)

Совсем имеем:

(2.21)

Если погрешность отличается от данной погрешности R, то шаг h подменяют Методы Рунге-Кутты для задачи Коши. на новый шаг `h, к примеру, уменьшают либо наращивают вдвое.

III. ЗАДАНИЕ.

1. Создать текст программки для решения задачки Коши для системы из 2-ух дифференциальных уравнений способом Рунге-Кутты 4-ого порядка точности.

2. Предугадать в программке контроль точности численного решения и автоматический выбор шага при данной погрешности численного решения.

3. Решить задачку Коши для Методы Рунге-Кутты для задачи Коши. системы из 2-ух дифференциальных уравнений из таблицы личных заданий.

IV. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.

1. Задание:Решить задачку Коши для системы линейных уравнений:

(4.1)

где m-параметр на отрезке [a,b], a=0,b=100 при последующих исходных критериях

(4.2)

с абсолютной точностью e=10-4 при m=0.1.

2. Для решения задачки Коши будем использовать способ Рунге-Кутты 4-ого Методы Рунге-Кутты для задачи Коши. порядка точности. В расчетных формулах (2.15, 2.16) имеем:

3. Пример программ на Delphy (в консольном режиме) и на Mathcad.

program lab10;

{Решение Задачки Коши для системы из 2-ух уравнений}

{методом Рунге-Кутты 4-ого порядка точности}

{a - начало отрезка, где нужно отыскать решение}

{b - конец отрезка, где нужно отыскать решение}

{y0,z0 - исходные Методы Рунге-Кутты для задачи Коши. условия}

{e - точность вычисления}

{h0 - изначальное значение шага}

vara,b,y0,z0,e,h0,x,h,k1,k2,k3,k4,q1,q2,q3,q4 : real;

varu,xx,yy,zz,yh,zh,yhh,zhh,ry,rz,m : real;

vari,p,j,kk,mm : integer;

varx,y,z : array[0..5000] of Методы Рунге-Кутты для задачи Коши. real;

varoutfile : text;

labelm1,m2;

functionf(x,y,z: real) : real;

{функция 3-х переменных f(x,y,z)}

Begin

формула (4.1)

end;{f}

functiong(x,y,z: real) : real;

{функция 3-х переменных}

Begin

формула (4.1)

end;{g}

Begin

assign(outfile,’d:\lab.dat’); объявление наружного файла lab.dat

rewrite(outfile); открытие наружного файла для записи

writeln(‘Введите Методы Рунге-Кутты для задачи Коши. значение a и значение b’);

readln (a,b);

writeln(‘Введите значение y0 и значение z0’);

readln (y0,z0);

writeln(‘Введите точность вычислений e’);

readln (e);

writeln(‘Введите шаг h0’);

readln (h0);

p:=4;

i:=0;

x[0]:=a;

y[0]:=y0;

z[0]:=z0;

whilex[i]

i:=i+1;

kk:=0;

mm:=0;

m2:h Методы Рунге-Кутты для задачи Коши.:=h0;

xx:=x[i-1];

yy:=y[i-1];

zz:=z[i-1];

j:=0;

m1:k1:=f(xx,yy,zz);

q1:=g(x,yy,zz);

k2:=f(xx+h/2,yy+k1*h/2,zz+q1*h/2); формулы (2.16)

q2:=g(xx+h/2,yy+k1*h/2,zz+q1*h/2);

k3:=f(xx+h/2,yy+k Методы Рунге-Кутты для задачи Коши.2*h/2,zz+q2*h/2);

q3:=g(xx+h/2,yy+k2*h/2,zz+q2*h/2);

k4:=f(xx+h,yy+k3*h,zz+q3*h);

q4:=g(xx+h,yy+k3*h,zz+q3*h);

ifj=0 then begin

yh:=yy+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; вычисление с шагом h

zh:=zz Методы Рунге-Кутты для задачи Коши.+h*(q1+2*q2+2*q3+q4)/6;

h:=h/2; уменьшение шага вдвое

j:=1;

gotom1; переход на вычисление с шагом h/2

end;

ifj=1 then begin

yhh:=yy+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6.; 1-ый шаг с шагом h/2

zhh:=zz+h*(q1+2*q2+2*q3+q4)/6.;

xx:=xx+h;

yy:=yhh;

zz:=zhh;

j:=2;

gotom Методы Рунге-Кутты для задачи Коши.1; переход на 2-ой шаг с шагом h/2

end;

ifj=2 then begin

yhh:=yy+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; 2-ой шаг с шагом h/2

zhh:=zz+h*(q1+2*q2+2*q3+q4)/6;

end;

u:=exp(p*ln(2)); вычисление 2 в степени p

ry:=(абс(yhh-yh)*u)/(u-1.);

rz:=(абс(zhh-zh)*u)/(u-1.);

if(kk Методы Рунге-Кутты для задачи Коши.=0) and((ry>e) or(rz>e)) then begin

mm:=1;

h0:=h0/2; автоматическое уменьшение шага вдвое

gotom2;

end;

if(mm=0) and ((ry

kk:=1;

h0:=2*h0; автоматическое повышение шага вдвое

gotom2;

end;

x[i]:=x[i-1]+h0;

y[i]:=yh;

z[i]:=zh;

writeln(‘i=’,i,’ h0=’,h0,’ x=’,x Методы Рунге-Кутты для задачи Коши.[i],’ y=’,y[i],’ z=’,z[i]);

writeln(outfile,‘i=’,i,’ h0=’,h0,’ x=’,x,’ y=’,y[i],’ z=’,z[i]);

end;

close(outfile); закрытие наружного файла

End.

V. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА.

1.Заглавие лабораторной работы.

2.Личное задание.

3.Текст программки.

4.Таблица результатов расчета на ЭВМ.

Замечание: Пункты 1-4, также таблица пт 5 без численных результатов должны Методы Рунге-Кутты для задачи Коши. быть оформлены до начала выполнения лабораторной работы.

Результаты программки в Delphy необходимо вывести в виде графика используя файл с данными и подобающую программку для построения графиков.

VI. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.

1. Что такое обычное дифференциальное уравнение?

2. Какое дифференциальное уравнение именуется разрешимым относительно старшей производной.

3. Что именуется линейным дифференциальным уравнением?

4. Определение Методы Рунге-Кутты для задачи Коши. личного и общего решения дифференциального уравнения.

5. Задачка Коши.

6. Краевая задачка

7. Определение интегральной кривой.

8. Способы Эйлера первого и второго порядка точности.

9. Модификации способа Эйлера.

10. Способы Рунге-Кутты второго и 4-ого порядка точности.

11. Способы Рунге-Кутты для систем дифференциальных уравнений.

12. Автоматический контроль погрешности и выбор шага численного решения.

13. Способ Адамса-Бошфорта.

14. Способ Адамса Методы Рунге-Кутты для задачи Коши.-Моултона.

15. Способ прогноза и корректировки.

16. Можно ли в способах Адамса держать под контролем точность расчетов при помощи конфигурации шага h?


VII. ТАБЛИЦА Личных ЗАДАНИЙ.

Решить задачку Коши y¢=f(x,y,z), z¢=j(x,y,z); при y0=y(a), z0=z(a Методы Рунге-Кутты для задачи Коши.), на отрезке [a,b] с данной абсолютной погрешностью e.

f(x,y,z) j(x,y,z) y(a) z(a) a b e
1. -1 10-3
2. 0,5 1,5 10-4
3. -1 10-3
4. 10-4
5. 0,5 -0,5 10-3
6. -0,6 10-4
7. -1 10-3
8. 0,5 1,2 10-4
9. -1 10-3
10. -3 10-4
11. 10-3
12. -2 -1 10-4
13. -1 10-4
14. -1 10-3
15. 10-4
16. 10-4
17. - -2 10-4
18. 10-3
19. 10-4
20. 10-3


metodi-upravleniya-i-snizheniya-predprinimatelskih-riskov.html
metodi-upravleniya-konfliktami.html
metodi-upravleniya-personalom-kurs-lekcij-2-e-izdanie-minsk-2004-u.html