Методы решения тригонометрических уравнений

Способы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из 2-ух шагов: преобразование уравнениядля получения его простого вида ( см. выше ) и решение приобретенного простого тригонометрического уравнения. Существует семь главных способов решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический способ Методы решения тригонометрических уравнений. Этот способ нам отлично известен из алгебры

( способ подмены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители. Этот способ разглядим на примерах.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е Методы решения тригонометрических уравнений ш е н и е . Перенесём все члены уравнения на лево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р Методы решения тригонометрических уравнений 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x Методы решения тригонометрических уравнений – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2x Методы решения тригонометрических уравнений + cos 6x = 1 + cos 8x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3.

Приведение к однородному Методы решения тригонометрических уравнений уравнению. Уравнение именуется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степениотносительно sin и cos 1-го и такого же угла. Чтоб решить однородное уравнение, нужно:

а) перенести Методы решения тригонометрических уравнений все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение наименьшей степени, которое Методы решения тригонометрических уравнений следует поделить на

cos ( либо sin ) в старшей степени;

д) решить приобретенное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р Методы решения тригонометрических уравнений е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan Методы решения тригонометрических уравнений 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корешки этого уравнения: y1 = -1, y2 = -3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу. Разглядим этот способ на примере:

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos Методы решения тригонометрических уравнений x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan Методы решения тригонометрических уравнений ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Введение вспомогательного угла. Разглядим уравнение вида:

a sin x + b cos x = c ,

где a, b, c – коэффициенты; x – неведомое.

Сейчас коэффициенты уравнения владеют качествами синуса и косинуса, а конкретно Методы решения тригонометрических уравнений: модуль ( абсолютное значение ) каждого из их не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( тут - так именуемый вспомогательный угол ), и наше уравнение воспринимает вид Методы решения тригонометрических уравнений:

6. Преобразование произведения в сумму. Тут употребляются надлежащие формулы.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3x = cos 4x.

Р е ш е н и е Методы решения тригонометрических уравнений . Преобразуем левую часть в сумму:

cos 4x – cos 8x = cos 4x ,

cos 8x = 0 ,

8x = p / 2 + pk ,

x = p / 16 + pk / 8 .

7. Универсальная подстановка. Разглядим этот способ на примере.

П р и м е р Методы решения тригонометрических уравнений . Решить уравнение: 3 sin x – 4 cos x = 3 .

Таким макаром, решение даёт только 1-ый случай.


metodi-teoreticheskoj-populyacionnoj-genetiki-referat.html
metodi-tipi-i-formi-razresheniya-socialno-trudovih-konfliktov.html
metodi-tradicionnogo-analiza.html