Методы решения систем эконометрических уравнений

Методы решения систем эконометрических уравнений

В отличие от прошлых разделов каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться без помощи других, и для нахождения его характеристик обычный МНК неприменим. С этой целью употребляются последующие особые приемы оценивания:

– косвенный способ меньших квадратов;

– двухшаговый способ меньших квадратов;

– трехшаговый способ меньших квадратов;

– способ наибольшего правдоподобия с полной информацией Методы решения систем эконометрических уравнений;

– способ наибольшего правдоподобия при ограниченной инфы.

Данные способы тщательно описаны в литературе [6], 1-ые два являются классическими, довольно просто реализуемыми.

Для решения идентифицируемых уравнений применяется косвенный способ меньших квадратов, для решения сверхидентифицированных – двухшаговый способ меньших квадратов.

Косвенный МНК состоит в последующем:

1) составляют приведенную форму модели и определяют численные значения характеристик для Методы решения систем эконометрических уравнений каждого ее уравнения в отдельности при помощи обыденного МНК;

2) методом алгебраических преобразований перебегают от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем численные оценки структурных характеристик.

Двухшаговый МНК заключается в последующем:

1) составляют приведенную форму модели и определяют численные значения характеристик каждого ее уравнения в отдельности при помощи обыденного Методы решения систем эконометрических уравнений МНК;

2) выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения (характеристики которого определяют двухшаговым МНК) и находят расчетные значения по приобретенным на первом шаге подходящим уравнениям приведенной формы модели;

3) при помощи обыденного МНК определяют характеристики каждого структурного уравнения в отдельности, используя в качестве начальных данных фактические значения предопределенных переменных и Методы решения систем эконометрических уравнений расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения, приобретенные на втором шаге.

Способ наибольшего правдоподобия рассматривается как более общий способ оценивания, результаты которого при обычном рассредотачивании признаков совпадают с МНК. Но при большенном числе уравнений системы этот способ приводит к довольно сложным вычислительным процедурам. Потому в качестве модификации Методы решения систем эконометрических уравнений употребляется способ наибольшего правдоподобия при ограниченной инфы, разработанный в 1949 г. Т.Андерсоном и Н.Рубиным. В этом способе сняты ограничения на характеристики, связанные с функционированием системы в целом. Невзирая на его значительную популярность, к середине 60-х годов он был фактически вытеснен двухшаговым способом меньших квадратов (ДМНК Методы решения систем эконометрических уравнений) в связи с еще большей простотой последнего.

Предстоящим развитием ДМНК является трехшаговый способ меньших квадратов, предложенный в 1962 г. А.Зельнером и Г.Тейлом. Но при неких ограничениях на характеристики более действенным оказывается все таки ДМНК. Способ получил заглавие двухшагового способа меньших квадратов, ибо два раза употребляется МНК: на первом Методы решения систем эконометрических уравнений шаге при определении формы модели зависимости эндогенных переменных только от экзогенных (так именуемая приведенная модель) и нахождении на ее базе оценок теоретических значений эндогенных переменных, и, потом, на втором шаге, используя эти теоретические значения эндогенных переменных, применительно к начальным уравнениям модели. См. также [4].

8.4. Практический блок

Пример 1. Требуется:

1. Оценить последующую структурную модель на идентификацию Методы решения систем эконометрических уравнений:

y1= b13y3 + a11x1+ a13x3,

y2=b21y1 + b23y3+ a22x2,

y3= b32y2+ a31x1+ a33x3.

2. Исходя из приведенной формы модели уравнений

y1= 2x1 + 4x2+ 10x3,

y2=3x1–6x2+ 2x3,

y3= -5x1+ 8x2+ 5x3.

отыскать структурные коэффициенты модели.

Решение:

1. Исследование модели на идентифицируемость. Модель Методы решения систем эконометрических уравнений имеет три эндогенные (у1, у2, у3) и три экзогенные (х1, х2, х3) переменные.

Проверим каждое уравнение системы на нужное (Н) и достаточное (Д) условия идентификации.

1-ое уравнение.

Нужное условие (Н): эндогенных переменных – 2 (y1, y3), отсутствующих экзогенных – 1 (х2).

Производится нужное равенство: 2 = 1+1, как следует, уравнение точно идентифицируемо.

Достаточное условие (Д): в первом Методы решения систем эконометрических уравнений уравнении отсутствуют у2 и х2. Построим матрицу из коэффициентов при их в других уравнениях системы

Уравнение Отсутствующие переменные
у2 у2
2-ое –1 a22
Третье b32

Определитель матрицы Det A = –1·0 – b32 · a22 ≠ 0.

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; как следует, производится достаточное условие идентификации, и 1-ое уравнение точно идентифицируемо.

2-ое Методы решения систем эконометрических уравнений уравнение.

Н: эндогенных переменных – 3 (y1, y2. y3), отсутствующих экзогенных – 2 (х1, х3).

Производится нужное равенство: 3 = 2+1, как следует, уравнение точно идентифицируемо.

Д: во 2-м уравнении отсутствуют х1 и х3. Построим матрицу из коэффициентов при их в других уравнениях системы:

Уравнение Отсутствующие переменные
х1 х3
1-ое a11 a13
Третье а31 а33

ОпределительматрицыDet A Методы решения систем эконометрических уравнений = a11 · a33 – a31 · a13 ≠ 0.

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, как следует, производится достаточное условие идентификации, и 2-ое уравнение точно идентифицируемо.

Аналогично доказывается, что и третье уравнение точно идентифицируемо. Как следует, исследуемая система точно идентифицируема и может быть решена косвенным способом меньших квадратов.

2. Вычисление структурных коэффициентов модели Методы решения систем эконометрических уравнений:

1) из третьего уравнения приведенной формы выразим х2 (потому что его нет в первом уравнении структурной формы)

х2=(y3+5х1−5х3)/8.

Данное выражение содержит переменные y3, х1 и х3, которые входят в правую часть первого уравнения структурной формы модели (СФМ). Подставим приобретенное выражение х2 в 1-ое уравнение приведенной формы модели Методы решения систем эконометрических уравнений (ПФМ)

y1= 2x1 + 4(y3+5х1−5х3)/8+ 10x3.

Откуда получим 1-ое уравнение СФМ в виде

y1= 0,5y3 + 4,5x1+ 7,5x3.

2) во 2-м уравнении СФМ нет переменных х1 и х3. Структурные характеристики второго уравнения СФМ можно будет найти в два шага.

1-ый шаг: выразим х1 в этом случае из первого либо третьего уравнения ПФМ Методы решения систем эконометрических уравнений. К примеру, из первого уравнения

x1=(y1 - 4x2 - 10x3)/2.

Подстановка данного выражения во 2-ое уравнение ПФМ не решило бы задачку до конца, потому что в выражении находится х3, которого нет в СФМ.

Выразим х3 из третьего уравнения ПФМ

x3=(y3+5x1-8x2)/5.

Подставим его в выражение для х1

x Методы решения систем эконометрических уравнений1=0,5y1 - 2x2 - 5(y3+5x1- 8x2)/ 5=0,5y1 +6x2 - y3 - 5x1. Откуда

x1=(0,5y1 +6x2 - y3 )/6.

2-ой шаг: аналогично, чтоб выразить х3 через разыскиваемые y1, y3 и х2, заменим в выражении х3 значение х1 на приобретенное из первого уравнения ПФМ

x3= (5(y1 - 4x2 - 10x3)/2- 8x2+ y3)/5=0,5y1–3,6x2 - 5x3+0,2y3.

Как следует,

x Методы решения систем эконометрических уравнений3= (0,5y1 – 3,6x2 +0,2y3)/6.

Подставим приобретенные х1 и х3 во 2-ое уравнение ПФМ

y2=3(0,5y1 +6x2 - y3 )/6 – 6x2+ 2(0,5y1 – 3,6x2 +0,2y3)/6.

В итоге получаем 2-ое уравнение СФМ

y2=0,416y1 -0,434y3 –4,2x2.

3) из второго уравнения ПФМ выразим х2, потому что его нет в 3-ем уравнении СФМ

x2=(3x1 –y2+ 2x3)/6.

Подставим приобретенное выражение Методы решения систем эконометрических уравнений в третье уравнение ПФМ

y3= -5x1+ 8(3x1 –y2+ 2x3)/6+ 5x3.

В итоге получаем третье уравнение СФМ

y3= –1,336y2- x1+ 7,664x3.

Таким макаром, СФМ воспримет вид

y1= 0,5y3 + 4,5x1+ 7,5x3;

y2=0,416y1 -0,434y3 –4,2x2;

y3= –1,336y2- x1+ 7,664x3.

Пример 2. Изучается модель вида

y=a1+b1(C+D)+ε1;

C=a2+b2y+b3y-1+ε2,

где y – валовой государственный Методы решения систем эконометрических уравнений доход;

у–1 – валовой государственный доход предыдущего года;

С – личное потребление;

D – конечный спрос (кроме личного употребления);

ε1 и ε2 – случайные составляющие.

Информация за девять лет о всех показателях дана в таблице:

Год D у–1 y С Год D у–1 y С
–6,8 46,7 3,1 7,4 44,7 17,8 37,2 8,6
22,4 3,1 22,8 30,4 23,1 37,2 35,7 30,0
–17,3 22,8 7,8 1,3 51,2 35,7 46,6 31,4
12,0 7,8 21,4 8,7 32,3 46,6 56,0 39,1
5,9 21,4 17,8 25,8 167,5 239,1 248,4 182,7

Для данной модели была получена система приведенных уравнений

у=8,219+0,6688D Методы решения систем эконометрических уравнений+0,261у–1;

C=8,636 + 0,3384D +0,202 у–1.

Требуется:

1. Провести идентификацию модели.

2. Высчитать характеристики первого уравнения структурной модели.

Решение:

1. В данной модели две эндогенные переменные (у и С) и две экзогенные переменные (D и у–1). 2-ое уравнение точно идентифицировано, потому что содержит две эндогенные переменные и не содержит одну экзогенную переменную из системы Методы решения систем эконометрических уравнений. Другими словами, для второго уравнения имеем по счетному правилу идентификации равенство: 2=1+1.

1-ое уравнение сверхидентифицировано, потому что в нем на характеристики при С и D наложено ограничение: они должны быть равны. В этом уравнении содержится одна эндогенная переменная у. Переменная С в данном уравнении не рассматривается как эндогенная Методы решения систем эконометрических уравнений, потому что она участвует в уравнении не без помощи других, а совместно с переменной D. В данном уравнении отсутствует одна экзогенная переменная, имеющаяся в системе. По счетному правилу идентификации получаем: 1 + 1 = 2: D + 1 > Н. Это больше, чем число эндогенных переменных в данном уравнении, как следует, система сверхидентифицирована.

2. Для определения характеристик сверхидентифицированной модели Методы решения систем эконометрических уравнений употребляется двухшаговый способ меньших квадратов.

Шаг 1. На базе системы приведенных уравнений по точно идентифицированному второму уравнению определим теоретические значения эндогенной переменной С. Для этого в приведенное уравнение

C=8,636 + 0,3384D +0,202 у–1

подставим значения D и у–1, имеющиеся в условии задачки. Приобретенные значения обозначим Ĉi (i = 1,...,9).

Шаг 2. По сверхидентифицированному уравнению структурной Методы решения систем эконометрических уравнений формы модели заменяем фактические значения С на теоретические Ĉ и рассчитываем новейшую переменную Ĉ + D.

Год D Ĉ Ĉ + D Год D Ĉ Ĉ + D
–6,8 15,8 9,0 44,7 27,4 72,1
22,4 16,8 39,2 23,1 24,0 47,1
–17,3 7,4 –9,9 51,2 33,2 84,4
12,0 14,3 26,3 32,3 29,0 61,3
5,9 15,0 20,9 167,5 182,9 350,4

Дальше к сверхидентифицированному уравнению применяется способ меньших квадратов. Обозначим новейшую переменную Ĉ+D через Z. Решаем уравнение

у1=a1+b1Z.

При помощи МНК получим a1 = 7,678; b1= 0,542.

Запишем 1-ое уравнение структурной модели

y1=7,678+0,542(C+D Методы решения систем эконометрических уравнений).

Пример 3.

Построение эконометрической модели мирового рынка нефти

Разумеется, что модель должна отражать связь меж 3-мя основными элементами рыночного механизма – спросом, ценой и предложением (эндогенными переменными). В свою очередь состояние обозначенных частей в каждый момент времени можно охарактеризовать при помощи системы объясняющих, экзогенных переменных.

Система включает общехозяйственные и товарно Методы решения систем эконометрических уравнений-рыночные характеристики. Общехозяйственные характеристики отражают экономические процессы, происходящие в мире и отдельных странах, и дают представление о фоне, на котором происходит развитие рынка.

2-ая группа характеристик отражает явления, которые свойственны для рынка нефти. Особенный энтузиазм представляют характеристики, владеющие опережающим эффектом (временным лагом) по отношению к динамике эндогенных переменных конъюнктуры рынка нефти.

При Методы решения систем эконометрических уравнений выборе экзогенных переменных учитывалось, что состояние рынка нефти в хоть какой момент времени определяется не только лишь его внутренними факторами, да и состоянием наружной среды, т.е. общехозяйственной конъюнктуры всего мирового хозяйства, и, сначала, динамикой воспроизводственного цикла, состоянием деловой активности в отраслях-потребителях, положением в кредитно Методы решения систем эконометрических уравнений-денежной и валютно-финансовой сферах экономики.

Оканчивающим шагом разработки модели исследуемого рынка является ее реализация. На данном шаге математическая модель формируется в общем виде, оцениваются ее характеристики, проводится содержательная финансовая интерпретация, выясняются статистические и прогностические характеристики модели.

При построении модели использовалась система характеристик, основанная на ежеквартальных динамических рядах за последние Методы решения систем эконометрических уравнений 15 лет, которая охарактеризовывает главные стороны рынка нефти в экономическом, временном и географическом качествах.

Внедрение корреляционного анализа на шаге подготовительной обработки данных позволило ограничить круг применяемых характеристик (сначало их было более 100), избрать для предстоящего анализа такие, которые отражают воздействие главных причин на рынок нефти и более плотно сплетены с динамикой характеристик Методы решения систем эконометрических уравнений конъюнктуры. При всем этом решалась также задачка исключения воздействия мультиколлинеарности.

Модель строилась исходя из предпосылки, что величина спроса играет более активную роль, чем причины предложения и цены. Рекурсивная модель включает линейные регрессионные уравнения для последующих эндогенных переменных в момент времени t:

y1,t – экспорт нефти из государств ОПЕК;

y2,t Методы решения систем эконометрических уравнений – добыча нефти в странах ОПЕК;

y3,t – стоимость на нефть легкую аравийскую.

В модель вошли предопределенные переменные:

y3,t-1 – стоимость на нефть легкую аравийскую с лагом в 1 квартал;

x6,t – поставки нефти на переработку в Японию;

x7,t-1 – поставки нефти на переработку в США в момент t Методы решения систем эконометрических уравнений-1;

x9,t – коммерческие припасы нефти в странах Западной Европы;

x10,t-1 – коммерческие припасы нефти в США с лагом в 1 квартал;

x12,t – экспорт нефти из бывшего СССР в продвинутые страны;

x20,t-2 – индекс экспортных цен ООН на горючее с лагом в 2 квартала, а x20,t-3 – в 3 квартала;

x23,t-1 – загрузка Методы решения систем эконометрических уравнений производственных мощностей обрабатывающей индустрии США;

– показатель, учитывающий дисбаланс на рынке нефти в момент времени t.

Эконометрическая модель конъюнктуры рынка нефти имеет вид:

y1,t = 4,2x6,t+0,8x7,t-1+1,5x9,t –0,6x10,t-1+2,1x12,t –0,4x20,t-2 –169,2;

y2,t= 0,9y1,t +0,8x7,t-1 +0,3x20,t-2 –64,0;

y3,t = 0,5 y2,t Методы решения систем эконометрических уравнений+16,2 +0,2x20,t-2 +0,3x23,t-1 –32,6.

Анализ статистических черт модели показал, что в целом она правильно обрисовывает рынок нефти – все уравнения значимы, разъясняют от 67% до 92% дисперсии эндогенных переменных и характеризуются малозначительными отклонениями расчетных значений эндогенных переменных от фактических. Значимость коэффициентов модели проверялась по t-критерию, расчетные значения которых указаны в скобках под Методы решения систем эконометрических уравнений надлежащими коэффициентами.

Построенная модель позволяет рассматривать разные ситуации развития рынка нефти.

Контрольные вопросы

1. Что такое системы одновременных уравнений в экономическом моделировании?

2. Какие виды систем уравнений используются в эконометрике? Охарактеризуйте их.

3. Какие способы используются для нахождения структурных коэффициентов модели для разных видов систем уравнений?

4. Какие переменные именуются эндогенными, экзогенными, предопределенными?

5. Что представляют Методы решения систем эконометрических уравнений собой структурная и приведенная форма модели?

6. Что понимается под идентификацией модели?

7. На какие виды разделяются структурные модели с позиции идентифицируемости?

8. Что представляют собой нужное и достаточное условия идентификации уравнения?

9. В каком случае применяется и что представляет собой косвенный МНК?

10. В каком случае применяется и что представляет собой двухшаговый МНК Методы решения систем эконометрических уравнений?

Сделайте задания и ответьте на вопросы:

Задание 1.

Проверьте, идентифицируема ли эконометрическая модель:

у1= b12у2 + b13у3 + а11х1 + а12х2;

у2= b21у1 +а21х1 + а22х2 + а23х3;

у3= b31у1 + b32у2+а31х1 + а33х3+ а34х4.

Задание 2.

Проверьте, идентифицируема ли эконометрическая Методы решения систем эконометрических уравнений модель:

у1= b12у2 + b13у3 + а11х1 + а12х2;

у2= b21у1 + а22х2 + а23х3;

у3= b31у1 + b32у2+а31х1 + а33х3+ а34х4.

Задание 3.

Проверьте, каждое уравнение системы на нужное и достаточное условие идентификации.

у1= b12у2+ b13у3 + а11х1 + а12х3;

у2= b Методы решения систем эконометрических уравнений21у1 + а22х2 + а23х3 +а24х4;

у3= b31у1 + b32у2+а31х1 + а32х2.

Задание 4.

Постройте, используя статистику в таблице, эконометрическую модель косвенным способом меньших квадратов:

у1= b12у2 + а11х1+ ε1;

у2= b21у1 + а22х2 +ε2.

№ региона Y1 Y2 X1 X2

Задание 5.

Постройте, используя статистику в таблице, эконометрическую модель Методы решения систем эконометрических уравнений двухшаговым способом меньших квадратов:

у1= b12(у2 +х1)+ ε1;

у2= b21у1 + а22х2 +ε2.

№ региона Y1 Y2 X1 X2

• Какие системы одновременных эконометрических уравнений Вы понимаете?

• Целенаправлено ли использовать способы корреляционного анализа на шаге подготовительной обработки данных?

• Растолкуйте, почему построение систем эконометрических уравнений принципиально в экономических исследовательских работах?

• В Методы решения систем эконометрических уравнений чем сходство и различие моделей эконометрических уравнений с ординарными моделями множественной регрессий?

• Приведите примеры экономических процессов и явлений, которые могут быть описаны системами независящих, рекурсивных и взаимозависимых уравнений.

• Почему нужно преобразовывать структурную форму модели в приведенную?

• В каком случае вся модель является идентифицируемой и сверхидентифицируемой?

Испытания

1. Система линейных Методы решения систем эконометрических уравнений функций эндогенных переменных от экзогенных именуется:

а) приведенной формой модели;

б) структурной формой модели;

в) стандартизованной формой модели;

г) системой рекурсивных уравнений.

2. Предопределенные переменные включают:

а) все экзогенные и эндогенные переменные;

б) только экзогенные переменные;

в) все экзогенные переменные и лаговые эндогенные переменные;

г) лаговые экзогенные и эндогенные переменные.

8.5. Самостоятельная Методы решения систем эконометрических уравнений работа студентов

Литература для самостоятельной работы

1. Эконометрика: Учебник./ Под ред. И.И. Елисеевой. – 2-е изд.– М.: Деньги и статистика, 2005. – 276 с.

2. Практикум по эконометрике. Под ред. И.И.Елисеевой. – М.: Деньги и статистика, 2005.

3. Мхитарян В.С., Архипова М.Ю., Сиротин В.П. Эконометрика: Учебно-методический комплекс.–М.: Изд. центр ЕАОИ. 2008. – 144 с Методы решения систем эконометрических уравнений.

4. Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Математическая статистика для предпринимателей и менеджеров. – М.: МЭСИ, 2004. – 140 с.

5. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Исходный курс, 3-е изд. – М.: Дело, 2005. – 503 с.

6. Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Исследование зависимостей способами корреляции и регрессии. – М.: МЭСИ, 2004. – 51 с.

7. Айвазян Методы решения систем эконометрических уравнений С.А., Мхитарян В.С. Практикум по прикладной статистике и эконометрике. – М.: МЭСИ, 2003.

INTERNET-ресурсы

1.http://subscribe.ru/archive/science.humanity.econometrika/200007/17050500.html

2. http://www.cemi.rssi.ru/rus/publicat/e-pubs/ep97001/1.htm

3. http://www.softlist.ru/cgi-bin/program.cgi?id=1988 - 7К

4. http://web.ido.ru/WWW/Courses.nsf Методы решения систем эконометрических уравнений/CoursesList?Open&About=055 - 2К

5. http://www.freeware32.ru/download.php3?id=1335 - 17К

6. http://www.nes.ru/Acad_year_2001/Prob_Stat.htm


metodi-surdopsihologii-kak-nauki.html
metodi-tehnologii-i-formi-kontrolya.html
metodi-teoreticheskogo-i-empiricheskogo-issledovaniya-moshennichestva-psihologicheskie-korni-moshennichestva-.html